{"id":1275,"date":"2023-08-12T18:50:06","date_gmt":"2023-08-12T18:50:06","guid":{"rendered":"http:\/\/alanrolsky.site\/?p=1275"},"modified":"2023-08-12T18:50:06","modified_gmt":"2023-08-12T18:50:06","slug":"covariant-derivative","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mx-dilo.red\/?p=1275","title":{"rendered":"Covariant derivative"},"content":{"rendered":"\n
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Bevor ich mich oberfl\u00e4chlich der gestellten \u00dcberschrift widme, m\u00f6chte ich Marcel Gro\u00dfmann u.a. zitieren, ein enger Freund und Studienkollege von Einstein und das Mastermind bez\u00fcglich der Entwicklung von geeigneten mathematischen Werkzeugen zur Formulierung der ART*. <\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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kovariante Ableitung eines kovarianten Vektorfeldes<\/em><\/figcaption><\/figure>\n<\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
Theorie der Gravitation<\/h5>\n\n\n\n
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Der mathematische Grundgedanke der Einstein’schen Gravita-
tionstheorie, ein Gravitationsfeld zu charakterisieren durch eine quadra-
tische Differentialform mit variabeln Koeffizienten, zwingt zu einer
Verallgemeinerung der Begriffsbildungen und Methoden der Vektor-
analysis.<\/p>\nMathematische Begriffsbildungen zur Gravitationstheorie, Marcel Grossmann, 1913<\/a><\/sub><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

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It took eight years after Einstein announced the basic physical ideas behind the relativistic gravity theory before the proper mathematical formulation of general relativity was mastered.<\/p>\nEinstein and hilbert:The creation of general relativity<\/a>, Ivan T. Todorov,<\/sub> Lecture @ International Centre for Theoretical Physics, Trieste, 9 December 1992<\/sub><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

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I. Begriff einer n fach ausgedehnten Gr\u00f6sse.
Indem ich nun von diesen Aufgaben zun\u00e4chst die erste, die Entwicklung des Begriffs mehrfach ausgedehnter Gr\u00f6ssen, zu l\u00f6sen versuche, glaube ich um so mehr auf eine nachsichtige Beurtheilung Anspruch machen zu d\u00fcrfen, da ich in dergleichen Arbeiten philosophischer Natur, wo die Schwierigkeiten mehr in den Begriffen, als in der Construction liegen, wenig ge\u00fcbt bin und ich ausser einigen ganz kurzen Andeutungen, welche Herr Geheimer Hofrath Gauss in der zweiten Abhandlung \u00fcber die biquadratischen Reste, in den G\u00f6ttingenschen gelehrten Anzeigen und in seiner Jubil\u00e4umsschrift dar\u00fcber gegeben hat, und einigen philosophischen Untersuchungen Herbart\u2019s, durchaus keine Vorarbeiten benutzen konnte.<\/p>\nUeber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Bernhard Riemann<\/a>, Abhandlungen der K\u00f6niglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G\u00f6ttingen, Band 13, S. 133-150, 1867, Habilitationsschrift<\/sub><\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Unser Anschaungsraum ist ein Konstrukt, eine komplexe Verquickung von Realit\u00e4ten, Wirklichkeit und Vorstellungen. Er besteht aus Ansichten, Perspektiven und einer durch unseren Intellekt verliehenen, zus\u00e4tzlichen Struktur. Unsere sinnliche Wahrnehmung und unser Intellekt navigieren uns durch diesen Raum. Er \u00e4hnelt dem euklidischen Raum<\/em>, wir k\u00f6nnen diesen Begriff synonym verwenden, wenn wir subjektive Aspekte aus und vor lassen. Eine Wechselwirkung zwischen Ding und Raum, begr\u00fcndet durch dessen Einbettung in diesen Raum, ist alleinig schon dadurch gegeben, da\u00df dieses durch seine Extensionailt\u00e4t einen Ort ( Ereignis im Minkowski-Raum ) exklusiv belegt, auszeichnet (Fermi-Dirac-Spinstatistik). Ein analytische Ann\u00e4herung an den Raumbegriff f\u00fchrt uns zu dessen mathematischer Definition : Menge + Struktur = Raum<\/em>. Wenn wir den Euklidischen Raum<\/em> und Raumbegriff (* ~300 v.C.) verlassen, folgen erst 1867 durch B. Riemann \u00dcberlegungen, diesen fundamental zu erweitern und zu verallgemeinern : die Mannigfaltigkeiten. <\/p>\n\n\n\n

Einstein stand in einem regen Austausch mit Kollegen im Wissenschaftsbetrieb Anfang des letzten Jahrhunderts, wie Ernst Mach z.B. Ernst Mach stand dem Wiener Kreis<\/em> nahe (Neopositivismus) und reflektierte mit Einstein m\u00f6gliche Ursachen f\u00fcr das \u00c4quivalenprinzip von schwerer<\/em> und tr\u00e4ger Masse<\/em>. Im Gegensatz zu Mach glaubte Einstein nicht an den urs\u00e4chlichen Einfluss entfernter kosmischer Massen in diesem Zusammenhang. Er vermutete eher einen wechselwirkenden (!) Zusammenhang zwischen Raum und den darin befindlichen Massen. Dieser Grundgedanke war es wohl, der zu einer allgemeinen Theorie der Gravitation f\u00fchrte. <\/p>\n\n\n\n

Die L\u00f6sungen der ART* f\u00fcr “masselose Universen” (flache Raumzeit), zeigen \u00fcbrigens und beweisen Einsteins obige Auffassung, da Fliehkr\u00e4fte f\u00fcr Probek\u00f6rper darin existieren (s.a. newtonsches Gedankenexperiment : rotierender Eimer). <\/p>\n\n\n\n

Zur Errichtung einer allgemeinen Theorie der Gravitation reichten die Eigenschaften des euklidischen Raumes nicht aus. Die Arbeiten von Riemann aber lieferten das Basismaterial, auf dem man aufbauen konnte : ein universeller Raum, mit geeigneter Struktur, inklusive Einbettungen, beliebig differenzierbar und mit diffeomorphen Abbildungen. Karten und Atlanten, Tangentialr\u00e4ume und deren Vereinigungen sorgen f\u00fcr punktuelle, euklidische Unterr\u00e4ume, deren Verbindung, mathematische Konnexion genannt, die Voraussetzung f\u00fcr mitwandernde Metriken auf beliebigen Wegen schuf. Die kovariante Formulierung der Theorie sorgte u.a. f\u00fcr deren Koordinatenunabh\u00e4ngkeit. Ein zentraler Bestandteil dieser mathematischen Form ist die kovariante Ableitung in und f\u00fcr die verwandten Tensoren, wie z.B. der Energie-Impuls-Tensor.<\/p>\n\n\n\n

*Allgemeine Relativit\u00e4tstheorie<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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